CALCULO DIFERENCIAL UNIDAD 2: ACTIVIDAD # 6 FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

Funciones crecientes y decrecientes y su relación con la derivada

Sea f una función continua con ecuación

, definida en un intervalo

.
La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo

En la representación gráfica anterior puede observarse que la función f es:

Creciente en los intervalos $]a,x_{3}[$ , $]x_{5},x_{6}[$
Decreciente en los intervalos $]x_{3},x_{5}[$ , $]x_{6},b[$

También se tiene que cuando la pendiente de la recta tangente es positiva, la funciónf crece; y cuando la pendiente de la recta tangente es negativa, la función decrece.

Note además que en los puntos $(x_{3}, f(x_{3}))$ , $(x_{5},f(x_{5}))$ y $(x_{6},f(x_{6}))$ la recta tangente es horizontal, por lo que su pendiente es cero, es decir, la primera derivada de la función se anula en cada uno de esos puntos.

Ejemplos:

Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación $f(x)=\displaystyle\frac{1}{2}(x^2-4x+1)$ .

Para ello calculemos la primera derivada de .

Como $f'(x)>0 \Leftrightarrow x-2>0$ , o sea si , entonces f es creciente para .

Como $f'(x)<0 \Leftrightarrow x-2<0$ , o sea si , entonces f es decreciente para .

En la representación gráfica de la función puede observarse lo obtenido anteriormente.
Determine en cuáles intervalos crece o decrece la función con ecuación $f(x)=x^2+\displaystyle\frac{1}{x^2}$ con $x\neq0$ .

La derivada de f está dada por $f'(x)=2x- \displaystyle\frac{2}{x^3}$ que puede escribirse como $f'(x)=\displaystyle\frac{2(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x^3}$

Como  es positivo para toda x en $I \! \! R$ entonces:

$f'(x)>0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{(x-1)(x+1)}{x^3} >0$              y

$f'(x)<0\Leftrightarrow \displaystyle\frac{(x-1)(x+1)}{x^3} <0$

Para resolver estas desigualdades recurrimos a la siguiente tabla.

Luego:  si $x \in ]-1,0[ \; \cup \; ]1,+\infty[$ por lo que la función f crece en el intervalo $]-1,0[ \; \cup \; ]1,+\infty[$ .

Además:  si $x \in ]-\infty,-1[ \; \cup \; ]0,1[$ de donde la función f decrece en el intervalo $]-\infty,-1[ \; \cup \; ]0,1[$ .

La representación gráfica de la función es la siguiente:
Determinar los intervalos en que crece o decrece la función f con ecuación $f(x)= \displaystyle\frac{x+1}{x-1}$ , con $x\neq 1$ .

La derivada de f es $f'(x)=\displaystyle\frac{-2}{(x-1)^2}$ .

Como es mayor que cero para x en $I \! \! R$ , $x\neq 1$ , y además entonces para todo x en $I \! \! R$ $(x\neq 1)$ , por lo que la función f es decreciente para x en $I \! \! R$ , $x\neq 1$ . La siguiente, es la representación gráfica de dicha función: