Función
inyectiva, suprayectiva y biyectiva
"Inyectivo, sobreyectivo y
biyectivo" te dan información sobre el comportamiento de una función.
Puedes entender
una función como una manera de conectar elementos de un conjunto "A"
a los de otro conjunto "B":
"Injectivo" significa que cada
elemento de "B" tiene como mucho uno de "A" al que
corresponde (pero esto no nos dice que todos los elementos de "B"
tengan alguno en "A").
"Sobreyectivo" significa que cada
elemento de "B" tiene por lo menos uno de "A" (a lo mejor
más de uno).
"Biyectivo" significa inyectivo y
sobreyectivo a la vez. Así que hay una correspondencia perfecta "uno a
uno" entre los elementos de los dos conjuntos.
Definiciones formales
Inyectivo
Una función f
es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y.
Ejemplo: f(x) = x2 del conjunto de los
números naturales a es una función inyectiva.
(Pero f(x) = x2 no es inyectiva cuando es
desde el conjunto de enteros (esto
incluye números negativos) porque tienes por ejemplo
f(2) = 4 y
f(-2) = 4)
Sobreyectivo (o también
"epiyectivo")
Una función f
(de un conjunto A a otro B) es sobreyectiva si para cada y en B, existe por lo
menos un x en A que cumple f(x) = y, en otras palabras f es sobreyectiva si y
sólo si f(A) = B.
Así que cada
elemento de la imagen corresponde con un elemento del dominio por lo menos.
Ejemplo: la función f(x) = 2x del conjunto
de los números naturales al de los
números pares no negativos es sobreyectiva.
Sin embargo, f(x) = 2x del conjunto de los
números naturales a no es sobreyectiva, porque, por ejemplo,
ningún elemento de N va al 3 por esta función.
Biyectiva
Una función f
(del conjunto A al B) es biyectiva si, para cada y en B, hay exactamente un x
en A que cumple que f(x) = y
Alternativamente,
f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.
Ejemplo: La función f(x) = x2 del conjunto
de números reales positivos al mismo conjunto es inyectiva y sobreyectiva. Por
lo tanto es biyectiva.
(Pero no desde el conjunto de todos los
números reales porque podrías tener por ejemplo
f(2)=4 y
f(-2)=4)
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