En matemática, más específicamente en el cálculo
diferencial, la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli1 es una regla
que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma
indeterminada.
Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés
del siglo XVII Guillaume François Antoine, marqués de l'Hôpital (1661 - 1704),
quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour
l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito
sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a
Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.
Si f y g son derivables en (a,b), entonces si existe el
límite f'/g' en c, existe el límite de f/g (en c) y es igual al anterior. Por
lo tanto,
Demostración
El siguiente argumento se puede tomar como una
«demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en realidad, una demostración
rigurosa de la misma requiere de argumentos e hipótesis más fuertes para su
demostración.2 4 Se asume que tanto f como g son diferenciables en c.
Dado que f(c)=g(c)=0 el cociente f(x)/g(x) para a<x<b
se puede escribir de la siguiente manera:
Sabemos que f y g son diferenciables en c, por lo tanto,
utilizando la definición de derivada:
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