UNIDAD #4 REGLA DE L. HOPITAL

En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli1 es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada.

Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.

La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy 

Si f y g son derivables en (a,b), entonces si existe el límite f'/g' en c, existe el límite de f/g (en c) y es igual al anterior. Por lo tanto,

Demostración

El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en realidad, una demostración rigurosa de la misma requiere de argumentos e hipótesis más fuertes para su demostración.2 4 Se asume que tanto f como g son diferenciables en c.

Dado que f(c)=g(c)=0 el cociente f(x)/g(x) para a<x<b se puede escribir de la siguiente manera:

Sabemos que f y g son diferenciables en c, por lo tanto, utilizando la definición de derivada:

UNIDAD #4 LA REGLA DE LOS 4 PASOS

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

DEFINICIÓN:

La derivada de una función se define como el límite de la razón del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando tiende a cero.Para encontrar la derivada de una función se utiliza la Regla                              General para la Derivación que consta de cuatro pasos                                                                        Primer paso.- Se sustituye en la función “X” por (X + ΔX), y “Y” por (Y + ΔY).

Segundo paso.- Se resta a la nueva función el valor de la función original, obteniendo únicamente Δy ( incremento de la función ).

Tercer paso.- Se divide la nueva ecuación Δy (incremento de la función ) entre Δx ( incremento de la variable independiente).

Cuarto paso.- Se calcula el límite cuando Δx (incremento de la variable independiente ) tiende a cero.

La regla general se puede representar a través de la siguiente ecuación:

EJEMPLOS DE RESOLUCION DE LA DERIVADA CON LA REGLA GENERAL

UNIDAD #4 DEFINICION DE LA DERIVADA

LA DERIVADA ES LA PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE DL GRAFICA EN EL PUNTO X.

ES LA PENDIENTE DE LA RECTA TANGENE A UNACURVA EN UN PUNTO CUALQUIERA

EL CONCEPTO DE DERIVADA ES MUY FACIL DE COMPRENDER . DADA UNA FUNCION   Y=F(X), LA DERIVADA MIDE LA VARIACION DE  Y , CUANDO HAY UNA PEQUEÑA VARIACION DE  X,

LA DEFINICION DE LA DERIVADA DE LA FUNCION

Y= F(X), ES:

POR LO TANTO PARA QUE EXISTA LA DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO, TIENE QUE EXISTIR ESE LIMITE. CUANDO NO EXISTE ESTE LIMITE, SE DICE QUE LA FUNCION NO ES DERIVABLE EN ESE PUNTO.

DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO

DADA UNA FUNCION F(X), Y CONSIDERANDO UN PUNTO A SU DOMINIO, SE LLAMA DERIVADA DE LA FUNCION EN ESE PUNTO, DENOTA COMO F” (a), AL SIGUIENTE LIMITE:

unidad #4 QUE ES LA DERIVADA?

1º IMAGINA: tienes que trasladar un carro por estas escaleras hacia arriba (figura 1)

 

. Dispones de unos tablones que irás poniendo de peldaño a peldaño (Figura 2) para poder desplazar tu carro

Fijate en ellos, observa la figura 2 ¿Qué constatas con relación a su inclinación?

Tendrás que hacer mucho esfuerzo al inicio para desplazar tu carro y menos al final en el último tramo. La pendiente, aunque subas todo el tiempo, es más elevada al inicio que al final.

Si establecemos el ángulo entre el tablero y la horizontal (Figura 3), vemos que el ángulo se va reduciendo a medida que vamos avanzando a lo largo de los tablones. Se dice que el coeficiente director de la pendiente va reduciéndose.

Por ejemplo, en el punto 6, o 7, o 8, y 9 (el tablero azul) tenemos una pendiente con un coeficiente director de ¼ ya que tiene que recorrer 4 unidades de medida (la profundidad de la escalera) para subir 1 unidad en el punto 10 (altura de la escalera) . La pendiente es la división de lo que ha subido (1 punto) sobre lo que ha avanzado (4 unidades), es decir la pendiente es de 1/4= 0,25 (es lo que se llama el coeficiente director de la recta). La pendiente del tablero amarillo, es de 0,2, ya que hay que recorrer 5 para subir 1. Si, por ejemplo en este mismo punto, en lugar de una unidad se subiese 10 unidades ¿Cuál sería la pendiente en este caso?  La pendiente en ese caso sería de 10/5= 2.

Eso que acabamos de explicar es la clave de la derivada. Así de sencillo.

La derivada nos muestra la evolución de la inclinación de los tablones a lo largo del trayecto.

Así que la derivada tiene que ver con los cambios de los coeficientes directores o los ángulos de los tablones con relación a la horizontal. En el ejemplo los coeficientes son positivos hasta el punto 21, a partir del punto 21 el coeficiente director es 0 ya que el tablón está paralelo al suelo, si a partir de ahí se fuese avanzando y las escaleras fuesen bajando, en lugar de subir, el coeficiente director sería negativo. Si fuese bajando de modo simétrico al que ha ido subiendo encontraríamos los mismos indices angulares pero negativos.

 La derivada muestra la evolución de la pendiente, en cada punto de los tablones, a lo largo de la curva.